Жидкость перекачивается из одного сосуда в другой через длинную трубку радиуса \(R\) и длины \(l\). Разность давлений на концах трубки \(P\), вязкость жидкости \(\eta\). Определите зависимость от расстояния до оси трубки: а) градиента скорости жидкости; б\(^*\)) скорости жидкости. Определите объём жидкости, перетекающей через эту трубку в единицу времени.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Баланс цилиндрика. Сила давления \(P\pi x^2\); площадь боковой поверхности \(2\pi x l\); сила трения \(\eta\left|\dfrac{\Delta v}{\Delta x}\right|2\pi xl\):
\[ P\pi x^2 = \eta\left|\frac{\Delta v}{\Delta x}\right|2\pi x l \ \Longrightarrow\ \boxed{\frac{\Delta v}{\Delta x} = -\frac{P\,x}{2\eta l}},\qquad 0<x<R. \]Минус: скорость убывает от оси к стенке.
б. Скорость. Градиент линеен по \(x\), значит \(v\) — квадратичная функция, обращающаяся в нуль на стенке \((x=R)\):
\[ \boxed{v(x) = \frac{P}{4\eta l}\left(R^2-x^2\right)} \]Проверка: \(\Delta v/\Delta x = -Px/(2\eta l)\) ✓. На оси \(v_{\max}=PR^2/(4\eta l)\).
Расход. Средняя по сечению скорость параболоида равна половине максимальной:
\[ Q = \pi R^2\cdot\frac{v_{\max}}{2} = \pi R^2\cdot\frac{PR^2}{8\eta l}, \qquad \boxed{Q = \frac{\pi R^4 P}{8\eta l}} \]