Задача 4.4.6вертикальная трубка
Условие
Из вертикально расположенной тонкой трубки, заполненной вязкой жидкостью, через время \(T\) вытекала половина жидкости. Через какое время вытечет оставшаяся часть жидкости?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Замечательное сокращение: чем короче оставшийся столб, тем меньше и напор, и длина, на
которой этот напор «тратится». Оба эффекта пропорциональны длине столба — и расход
оказывается постоянным.
Расход. Пусть в трубке остался столб длины \(x\). Перепад давления на нём \(P=\rho g x\), а длина участка течения та же \(x\). По Пуазёйлю
\[ Q = \frac{\pi R^4}{8\eta}\cdot\frac{\rho g x}{x} = \frac{\pi R^4\rho g}{8\eta} = \text{const}. \]Длина \(x\) сократилась! Значит уровень опускается равномерно, и
\[ \boxed{\text{вторая половина вытечет за то же время } T} \]Проверка.
Полное время \(2T\) ✓ и оно равно \(8\eta l/(\rho g R^2)\), где \(l\) — начальная
длина столба (объём \(\pi R^2 l\), делённый на \(Q\)) ✓.
Сравните с невязким истечением: там расход падал бы как \(\sqrt x\) и вторая половина
вытекала бы дольше ✓ — вязкая трубка ведёт себя иначе, и это хороший экспериментальный
признак.
Условие «тонкая трубка» существенно ✓: инерцией и торричеллиевым разгоном пренебрегаем,
считаем течение всё время пуазёйлевым.
Ответ Через то же время \(T\).