Задача 4.4.7наклонная трубка
Условие
Тонкая цилиндрическая трубка длины \(l\) и диаметра \(d\) целиком заполнена жидкостью плотности \(\rho\) и вязкости \(\eta\). Определите время вытекания жидкости из трубки, если её ось наклонена к горизонту под углом \(\alpha\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
То же сокращение, что и в предыдущей задаче: напор \(\rho g x\sin\alpha\) и длина
участка \(x\) растут вместе, расход постоянен. Остаётся поделить объём на расход.
Расход. Столб длины \(x\) вдоль трубки даёт перепад высот \(x\sin\alpha\):
\[ Q = \frac{\pi R^4}{8\eta}\cdot\frac{\rho g x\sin\alpha}{x} = \frac{\pi R^4\rho g\sin\alpha}{8\eta},\qquad R=\frac d2. \]Время. Полный объём \(\pi R^2l\):
\[ t = \frac{\pi R^2 l}{Q} = \frac{8\eta l}{R^2\rho g\sin\alpha} = \frac{8\eta l}{(d/2)^2\rho g\sin\alpha}, \] \[ \boxed{t = \frac{32\,\eta\,l}{\rho g\,d^2\sin\alpha}} \]Проверка.
При \(\alpha=90^{\circ}\) (вертикально) получаем \(t=32\eta l/(\rho gd^2)\) — минимум ✓.
При \(\alpha\to0\) время \(\to\infty\) ✓: горизонтальная трубка не опорожняется вовсе,
гнать жидкость нечему.
Размерность: (Н·с/м²)(м)/((кг/м³)(м/с²)(м²)) = с ✓.
Зависимость \(1/d^2\), а не \(1/d^4\) ✓: расход растёт как \(d^4\), но и объём как
\(d^2\), остаётся \(d^2\).
Пример: глицерин \(\eta=1{,}5\) Па·с, \(l=10\) см, \(d=2\) мм, \(\alpha=90^{\circ}\):
\(t=32\cdot1{,}5\cdot0{,}1/(1260\cdot9{,}8\cdot4\cdot10^{-6})\approx97\) с ✓.
Ответ
\(t = 32\eta l\big/(\rho g d^2\sin\alpha)\).