Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.4. Течение вязкой жидкости

Савченко, задача 4.4.8

Условие

Пространство между валом радиуса \(r\), вращающегося вокруг своей оси, и неподвижной соосной с валом трубой радиуса \(R\) заполнено жидкостью вязкости \(\eta\). Момент сил, действующих на единицу длины вала, равен \(M\). Определите зависимость от расстояния до оси вала: а) градиента угловой скорости жидкости; б\(^*\)) угловой скорости жидкости, а также угловую скорость вала.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Момент, передаваемый через любую цилиндрическую поверхность радиуса \(x\), один и тот же — иначе слой между двумя такими поверхностями раскручивался бы.

Идея Через любую цилиндрическую поверхность передаётся один и тот же момент \(M\): иначе слой между двумя такими поверхностями раскручивался бы. Это и даёт закон изменения угловой скорости.

а. Момент через цилиндр радиуса \(x\). Скорость сдвига в цилиндрическом слое — это не \(\Delta v/\Delta x\), а \(x\,\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}\) (равномерное вращение сдвига не даёт!). Значит касательное напряжение \(\tau = \eta\,x\,\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}\), а момент на единицу длины

\[ M = -\tau\cdot 2\pi x\cdot x = -2\pi\eta\,x^3\frac{\Delta\omega}{\Delta x} \ \Longrightarrow\ \boxed{\frac{\Delta\omega}{\Delta x} = -\frac{M}{2\pi\eta x^3}},\quad r<x<R. \]

б. Угловая скорость. Функция, производная которой равна \(-M/(2\pi\eta x^3)\) и которая обращается в нуль при \(x=R\) (труба неподвижна):

\[ \boxed{\omega_{\text{ж}}(x) = \frac{M}{4\pi\eta}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{R^2}\right)} \]

Подставляя \(x=r\), получаем угловую скорость вала:

\[ \boxed{\omega = \frac{M}{4\pi\eta}\left(\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}\right)} \]

Проверка. При \(x=R\) получаем \(\omega_{\text{ж}}=0\) ✓ — прилипание к неподвижной трубе. Проверим производную: \(\dfrac{\Delta}{\Delta x}\dfrac{M}{4\pi\eta x^2} = -\dfrac{M}{2\pi\eta x^3}\) ✓. Узкий зазор \((R-r=\delta\ll r)\): \(1/r^2-1/R^2\approx2\delta/r^3\), и \(\omega\approx M\delta/(2\pi\eta r^3)\), то есть линейная скорость вала \(v=\omega r = M\delta/(2\pi\eta r^2)\) — ровно результат задачи 4.4.1 с силой \(F=M/r\) на площади \(2\pi r\) ✓. Момент один и тот же на любом радиусе ✓ — это и есть условие стационарности. Размерность: \(M\) на единицу длины — Н, \(M/(\eta x^2)\) — Н/(Н·с/м²·м²) = 1/с ✓.

Ответ \(\dfrac{\Delta\omega}{\Delta x}=-\dfrac{M}{2\pi\eta x^3}\); \(\omega_{\text{ж}}=\dfrac{M}{4\pi\eta}\left(\dfrac1{x^2}-\dfrac1{R^2}\right)\); \(\omega=\dfrac{M}{4\pi\eta}\left(\dfrac1{r^2}-\dfrac1{R^2}\right)\).

Следующая задача 4.4.9 →