В трубе переменного сечения поддерживается стационарное течение вязкой жидкости.
В сечениях 1 и 2 скорость можно считать постоянной по сечению. Площади сечений 1 и 2 равны
соответственно \(S_1\) и \(S_2\), а давление жидкости в них — соответственно \(P_1\) и
\(P_2\). Скорость течения жидкости в сечении 1 равна \(v_1\). Найдите силу, с которой
жидкость действует на участок трубы между сечениями 1 и 2.
К задаче 4.4.9 (рисунок из условия, перерисован): жидкость втекает в широкую
часть трубы и уходит через узкую; сечение 1 — узкое, сечение 2 — широкое.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Вязкость не мешает применять закон изменения импульса: она сидит «внутри» тех самых сил,
которые труба прикладывает к жидкости. Записываем импульсный баланс для куска жидкости
между сечениями и находим силу трубы, а потом меняем знак.
Скорость во втором сечении: \(v_1S_1=v_2S_2\), значит \(v_2=v_1S_1/S_2\).
Импульс. Секундная масса \(\mu=\rho v_1S_1\). Для жидкости между сечениями
(ось — по течению):
Проверка.
Труба постоянного сечения \((S_1=S_2)\): \(F=(P_1-P_2)S\) ✓ — жидкость тянет трубу вперёд
силой, равной перепаду давления на сечение, и это в точности полная сила вязкого трения о
стенки, как и должно быть.
Идеальная жидкость в сужающейся трубе: подставив Бернулли \(P_1-P_2=\rho(v_2^2-v_1^2)/2\),
получаем результат задачи 4.3.4 ✓.
Размерность: Па·м² = Н ✓.
В ответах задачника напечатано \(F = P_2S_2-P_1S_1-\rho v_1^2S_1(1-S_1/S_2)\) — это
сила, действующая на жидкость со стороны трубы; сила жидкости на трубу
противоположна, что и спрашивается в условии.
Ответ
\(F = P_1S_1-P_2S_2+\rho v_1^2S_1\left(1-S_1/S_2\right)\) (по течению).