Длинная пластина ширины \(l\) приведена в соприкосновение с поверхностью жидкости. Затем пластину стали поднимать. Как зависит сила, действующая на единицу длины пластины, от высоты её подъёма \(x\)? Плотность жидкости \(\rho\), поверхностное натяжение \(\sigma\). Масса единицы длины пластины \(m\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Мениск. Рассмотрим боковую поверхность жидкости на единицу длины. По горизонтали на неё действуют: \(\sigma\) внизу (там поверхность горизонтальна) и \(\sigma\cos\theta\) вверху (у края пластины), а также сила «отрицательного» давления. Жидкость под уровнем поднята на высоту до \(x\), давление в ней ниже атмосферного, и суммарная горизонтальная сила равна \(\rho g x^2/2\):
\[ \frac{\rho g x^2}{2} = \sigma - \sigma\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\cos\theta = 1-\frac{\rho g x^2}{2\sigma}} \]Пластина. На неё действуют: искомая сила \(F_x\) вверх, вес \(mg\) вниз, «присасывание» снизу \(F_0=\rho gx\,l\) вниз (под пластиной давление ниже атмосферного на \(\rho gx\)) и две плёнки по краям, тянущие вниз с \(2\sigma\sin\theta\):
\[ F_x = mg + \rho g x\,l + 2\sigma\sin\theta. \]Осталось выразить синус. Из \(\cos\theta = 1-\rho gx^2/(2\sigma)\):
\[ \sin\theta = \sqrt{1-\cos^2\theta} = \frac{\rho g x}{\sigma}\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}-\frac{x^2}{4}}, \] \[ \boxed{F_x = mg + \rho g x\left(l + 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}-\frac{x^2}{4}}\right)} \]