Задача 4.5.11пластина на воде
Условие
Большая и тонкая пластина не тонет, если её осторожно положить на поверхность воды. Определите максимальную массу единицы её площади. Пластина водой не смачивается.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Пластина большая, поэтому вклад краёв на единицу площади ничтожен. Держит её
повышенное давление снизу: пластина сидит ниже общего уровня на \(x\), и снизу давит
\(\rho gx\). Максимум \(x\) — это максимальная глубина, на которую вообще может
прогнуться поверхность.
Насколько может прогнуться поверхность. Для плоского мениска высотой \(x\) равновесие боковой поверхности (см. 4.5.10) даёт
\[ \frac{\rho gx^2}{2} = \sigma\,(1-\cos\psi), \]где \(\psi\) — угол наклона поверхности у края пластины. Максимум при \(\psi=180^{\circ}\) (поверхность у края «завернулась»):
\[ x_{\max} = 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}. \]Нагрузка. Давление снизу \(\rho g x_{\max}\) уравновешивает вес единицы площади:
\[ \frac mS = \rho\,x_{\max} = 2\sqrt{\frac{\sigma\rho}{g}} = 2\sqrt{\frac{0{,}073\cdot10^3}{9{,}8}} = 5{,}5\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^2}, \] \[ \boxed{\frac mS \approx 0{,}55\ \text{г/см}^2} \]Проверка.
\(x_{\max}=5{,}5\) мм ✓ — та же величина, что предельная высота подъёма пластины в
задаче 4.5.10 и предельная толщина несмачивающей лужи (задача 4.5.13) ✓; все три —
\(2\sqrt{\sigma/\rho g}\).
Стальная пластина плотности 7,8 г/см³ может быть толщиной до 0,7 мм ✓ — толстая иголка
или бритвенное лезвие действительно держатся на воде.
Размерность \(\sqrt{\sigma\rho/g}\): \(\sqrt{(\text{Н/м})(\text{кг/м}^3)/(\text{м/с}^2)}
=\) кг/м² ✓.
Ответ
\(m/S = 2\sqrt{\sigma\rho/g}\approx0{,}55\) г/см².