Савченко · Глава 4. Механика жидкости · § 4.5. Поверхностное натяжение жидкости

Савченко, задача 4.5.12

Условие

а. Сумма сил, действующих на выделенный на рисунке объём жидкости, равна нулю. Пользуясь этим, определите высоту, на которую жидкость поднимается по вертикальной стенке. Краевой угол \(\theta\). Поверхностное натяжение и плотность жидкости \(\sigma\) и \(\rho\).

б. На какую высоту поднимется вода по вертикальной стенке, которую она полностью смачивает?

К задаче 4.5.12 (рисунок из условия, перерисован). Жидкость поднимается по вертикальной стенке; выделенный объём ограничен стенкой, поверхностью жидкости и уровнем вдали от стенки.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Выделим жидкость между стенкой и далёким вертикальным сечением. По горизонтали её держат: \(\sigma\) сверху у стенки, \(\sigma\) справа и разность давлений.

Идея Выделим жидкость между стенкой и далёким вертикальным сечением, где поверхность уже горизонтальна, и напишем баланс горизонтальных сил. Стенка вертикальна, поэтому её реакция горизонтальных проекций не даёт… кроме силы плёнки на линии смачивания.

Силы по горизонтали. На далёком сечении плёнка тянет наружу с \(\sigma\). У стенки плёнка подходит под краевым углом \(\theta\), её горизонтальная проекция \(\sigma\sin\theta\) (при полном смачивании \(\theta=0\) плёнка вертикальна и наружу не тянет вовсе). Разность гидростатических давлений на столбик высоты \(h\) даёт \(\rho gh^2/2\), направленную к стенке:

\[ \frac{\rho g h^2}{2} = \sigma - \sigma\sin\theta, \] \[ \boxed{h = \sqrt{\frac{2\sigma\,(1-\sin\theta)}{\rho g}}} \]

б. Полное смачивание \((\theta=0)\):

\[ h = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}} = \sqrt{\frac{2\cdot0{,}073}{10^3\cdot9{,}8}} = 3{,}9\ \text{мм}. \] \[ \boxed{h \approx 3{,}9\ \text{мм}} \]

Проверка. При \(\theta=90^{\circ}\) (жидкость «безразлична» к стенке) \(h=0\) ✓ — поверхность подходит к стенке горизонтально и не поднимается. При \(\theta>90^{\circ}\) формула даёт \(1-\sin\theta>0\) снова — и правда, у несмачиваемой стенки поверхность опускается на ту же по модулю величину ✓ (симметрия задачи). Порядок: миллиметры ✓, это капиллярная длина. Размерность \(\sqrt{\sigma/\rho g}\) — метры ✓.

Ответ а. \(h=\sqrt{2\sigma(1-\sin\theta)/(\rho g)}\). б. \(h\approx3{,}9\) мм.

Следующая задача 4.5.13 →