а. Определите толщину слоя жидкости, разлитой на горизонтальной плоскости. Краевой угол \(\theta\), плотность жидкости \(\rho\), поверхностное натяжение \(\sigma\).
б. Определите толщину слоя воды, разлитой на горизонтальной плоскости, покрытой парафином.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия на площади \(S=V/x\). Тяжесть: слой толщины \(x\), центр тяжести на \(x/2\), значит \(\rho g x^2 S/2\). Поверхность: сверху добавилась граница жидкость–воздух (\(\sigma\)), а граница твёрдое–газ заменилась на твёрдое–жидкость, что по формуле Юнга даёт \(-\sigma\cos\theta\). Итого
\[ E = \frac{\rho g x^2}{2}\,S + \sigma\,(1-\cos\theta)\,S = V\left[\frac{\rho g x}{2} + \frac{\sigma(1-\cos\theta)}{x}\right]. \]Минимум. Сумма вида \(ax+b/x\) минимальна при \(x=\sqrt{b/a}\):
\[ x = \sqrt{\frac{2\sigma(1-\cos\theta)}{\rho g}} = \sqrt{\frac{4\sigma\sin^2(\theta/2)}{\rho g}}, \] \[ \boxed{x = 2\sin\frac{\theta}{2}\,\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}}} \]б. Парафин водой практически не смачивается. В предельном случае полного несмачивания \((\theta=180^{\circ})\)
\[ x = 2\sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} = 2\cdot2{,}7\ \text{мм} \approx 5{,}4\ \text{мм}. \](При реальном краевом угле \(\theta\approx105^{\circ}\) получится \(x\approx4{,}3\) мм — чуть тоньше.)
\[ \boxed{x \approx 5\ \text{мм}} \]