а. Большой участок жидкости покрыт слоем масла. Поверхностное натяжение и плотность жидкости \(\sigma_{\text{ж}}\) и \(\rho_{\text{ж}}\), масла — \(\sigma_{\text{м}}\) и \(\rho_{\text{м}}\), поверхностное натяжение границы жидкость–масло \(\sigma_{\text{ж.м.}}\). Определите толщину слоя масла.
б. В 1977 г. «Арго-Мерчент», танкер водоизмещением 28 691 т, напоролся на риф; корпус развалился надвое, выплеснув в море полный груз нефти. Чёрные пятна нефти расползлись на тысячи квадратных миль. Определите общую площадь этих пятен. Поверхностное натяжение нефти 0,03 Н/м, плотность нефти \(0{,}8\cdot10^3\) кг/м³, нефть не смачивается водой. Массу нефти принять равной 0,8 водоизмещения танкера.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Энергия тяжести плавающего слоя. Слой толщины \(x\) погружён на \((\rho_{\text{м}}/\rho_{\text{ж}})x\). Стандартный подсчёт даёт на единицу площади
\[ E_{\text{тяж}} = \frac12\,\rho_{\text{м}}\,g\,x^2 \left(1-\frac{\rho_{\text{м}}}{\rho_{\text{ж}}}\right). \]Поверхностная энергия на единицу площади: вместо одной границы \(\sigma_{\text{ж}}\) появились две — \(\sigma_{\text{м}}\) и \(\sigma_{\text{ж.м.}}\):
\[ E_{\text{пов}} = \sigma_{\text{м}}+\sigma_{\text{ж.м.}}-\sigma_{\text{ж}} \equiv \Delta\sigma. \]Минимум. При фиксированном объёме \(V=xS\) полная энергия
\[ E = V\left[\frac{\rho_{\text{м}}g x}{2}\left(1-\frac{\rho_{\text{м}}}{\rho_{\text{ж}}}\right) + \frac{\Delta\sigma}{x}\right], \]минимальна при
\[ \boxed{x = \sqrt{\frac{2\rho_{\text{ж}}\, \big(\sigma_{\text{м}}+\sigma_{\text{ж.м.}}-\sigma_{\text{ж}}\big)} {\rho_{\text{м}}\,(\rho_{\text{ж}}-\rho_{\text{м}})\,g}}} \]Если же \(\sigma_{\text{ж}}\ge\sigma_{\text{м}}+\sigma_{\text{ж.м.}}\), то \(\Delta\sigma\le0\): растекаться выгодно неограниченно, и \(x\to0\) — масло расползается в мономолекулярную плёнку.
б. Нефть. Масса \(m=0{,}8\cdot28\,691 = 22\,953\) т, объём \(V=m/\rho_{\text{м}} = 28\,691\) м³. «Не смачивается» примем в предельном виде \(\sigma_{\text{ж.м.}}=\sigma_{\text{ж}}+\sigma_{\text{м}}\), тогда \(\Delta\sigma = 2\sigma_{\text{м}}=0{,}06\) Н/м:
\[ x = \sqrt{\frac{2\cdot10^3\cdot0{,}06}{0{,}8\cdot10^3\cdot0{,}2\cdot10^3\cdot9{,}8}} = \sqrt{7{,}7\cdot10^{-5}} \approx 8{,}7\ \text{мм}, \] \[ S = \frac Vx = \frac{28\,691}{8{,}7\cdot10^{-3}} \approx 3\cdot10^{6}\ \text{м}^2 \approx 3\ \text{км}^2. \] \[ \boxed{S \sim 2\ldots3\ \text{км}^2} \]