Докажите, что объём жидкости, который поднимется над её общим уровнем, зависит только от периметра поперечного сечения погружённой в жидкость палочки и не зависит от формы этого сечения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Что держит поднятый объём. Возьмём в качестве системы всю жидкость, лежащую выше общего уровня (на рисунке она отделена штриховой линией). Снизу, на уровне общей поверхности, давление равно атмосферному, значит снизу эта жидкость не поддерживается вовсе. По бокам — свободная поверхность, тоже под атмосферным давлением, и вертикальных сил там нет. Остаётся единственная опора — плёнка на линии соприкосновения с палочкой.
Сила плёнки. На каждый элемент линии смачивания длины \(\Delta L\) плёнка действует силой \(\sigma\Delta L\), направленной по касательной к поверхности; её вертикальная проекция \(\sigma\cos\vartheta\,\Delta L\), где \(\vartheta\) — краевой угол, один и тот же по всему периметру. Суммируя по контуру длины \(L\):
\[ F_{\uparrow} = \sigma L\cos\vartheta. \]Вывод. Равновесие поднятой жидкости даёт
\[ \rho g V = \sigma L\cos\vartheta \quad\Longrightarrow\quad \boxed{V = \frac{\sigma L\cos\vartheta}{\rho g}} \]В ответ входит только периметр \(L\), но не форма сечения — что и требовалось.