а. Докажите, что давление жидкости под её цилиндрической поверхностью радиуса \(R\) равно \(\sigma/R\) (\(\sigma\) — поверхностное натяжение жидкости). Для доказательства воспользуйтесь условием равновесия объёма жидкости, лежащего над плоскостью \(A\).
б. Докажите, что давление жидкости под её сферической поверхностью радиуса \(R\) равно \(2\sigma/R\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Цилиндр. Возьмём кусок цилиндрической поверхности длины \(L\) и рассечём его плоскостью, проходящей через ось. Половинку жидкости внутри держат две силы:
плёнка вдоль двух линий разреза длины \(L\): \(F_\sigma = 2\sigma L\);
избыточное давление \(\Delta P\), действующее на диаметральное сечение площади
\(2RL\): \(F_P = \Delta P\cdot 2RL\).
б. Сфера. Рассечём каплю по большому кругу. Плёнка тянет по окружности длины \(2\pi R\), давление действует на круг площади \(\pi R^2\):
\[ \Delta P\cdot\pi R^2 = \sigma\cdot 2\pi R \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\Delta P = \frac{2\sigma}{R}} \]