Определите максимальное и минимальное давление внутри сферической капли жидкости,
которая плавает в другой жидкости. Расстояние от центра капли до поверхности жидкости
\(h\), радиус капли \(R\), плотность жидкостей \(\rho\), поверхностное натяжение на
границе раздела жидкостей \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеКапля той же плотности, что и окружающая жидкость: внутри давление растёт
с глубиной так же, как снаружи, а лапласовская добавка \(2\sigma/R\) всюду одна.
Идея
Капля плавает «где угодно» — значит её плотность равна плотности окружающей жидкости.
Тогда внутри давление меняется с глубиной точно так же, как снаружи, а лапласовский
скачок \(2\sigma/R\) одинаков во всех точках границы.
Снаружи на глубине \(d\) избыточное над атмосферным давление равно
\(\rho g d\). Внутри на той же глубине оно на \(2\sigma/R\) больше:
\[ P_{\text{вн}}(d) = \rho g d + \frac{2\sigma}{R}. \]
Наибольшая глубина точки капли \(h+R\), наименьшая \(h-R\):
Проверка.
Разность \(P_{\max}-P_{\min}=2\rho gR\) ✓ — обычный гидростатический перепад по
диаметру капли.
Если \(\sigma\to0\), капля перестаёт отличаться от окружающей жидкости и давления
совпадают с наружными ✓.
Условие «плавает» существенно ✓: только при равных плотностях капля остаётся сферой на
любой глубине; иначе она всплывала бы или тонула и деформировалась.
Размерность ✓; при \(h<R\) формула для \(P_{\min}\) даёт отрицательное (ниже
атмосферного) значение — но тогда капля торчала бы из жидкости, и условие нарушено ✓.
Ответ
\(P_{\max}=2\sigma/R+\rho g(h+R)\), \(P_{\min}=2\sigma/R+\rho g(h-R)\).