Задача 4.5.18радиус кривизны у стенки
Условие
Жидкость смачивает вертикальную стенку. Как зависит радиус кривизны поверхности жидкости от высоты \(x\), на которую поднимается жидкость над своим уровнем? Плотность жидкости \(\rho\), поверхностное натяжение \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Прямо под поверхностью на высоте \(x\) давление ниже атмосферного на \(\rho gx\)
(жидкость связана с общим уровнем). А по Лапласу этот же дефицит равен \(\sigma/R\), ведь
поверхность цилиндрическая (вдоль стенки она не изогнута).
\[ \rho g x = \frac{\sigma}{R} \quad\Longrightarrow\quad
\boxed{R = \frac{\sigma}{\rho g x}} \]
Проверка.
Внизу, у самого общего уровня \((x\to0)\), радиус \(\to\infty\) ✓ — поверхность там
плоская.
Наверху, у линии смачивания, радиус наименьший ✓ — там поверхность круче всего изогнута.
Размерность: (Н/м)/((кг/м³)(м/с²)·м) = м ✓.
Числом: вода на высоте \(x=1\) мм: \(R=0{,}073/(9800\cdot10^{-3})=7{,}4\) мм ✓ —
пологая дуга, что и видно на фотографиях мениска.
Формула объясняет и высоту подъёма: у стенки радиус не может быть меньше
\(\sim\sqrt{\sigma/\rho g}\), откуда \(x_{\max}\sim\sqrt{\sigma/\rho g}\) ✓,
в согласии с задачей 4.5.12.
Ответ \(R = \sigma/(\rho gx)\).