Задача 4.5.19мыльный пузырь с толстой стенкой
Условие
Внешний радиус мыльного пузыря равен \(R\), толщина его стенки равна \(h\). Найдите давление воздуха внутри пузыря. Давление воздуха вне пузыря равно \(P_0\), поверхностное натяжение воды \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Идём внутрь и складываем скачки. Их два: на внешней сфере радиуса \(R\) и на внутренней
радиуса \(R-h\). На каждой скачок равен \(2\sigma/R_i\), и оба увеличивают давление.
Внешняя граница (воздух → вода), выпуклая наружу, радиус \(R\):
\[ P_{\text{вода}} = P_0 + \frac{2\sigma}{R}. \]Внутренняя граница (вода → воздух внутри), центр кривизны там же, радиус \(R-h\); воздух внутри находится с вогнутой стороны, значит его давление больше:
\[ P = P_{\text{вода}} + \frac{2\sigma}{R-h}. \] \[ \boxed{P = P_0 + 2\sigma\left(\frac1R+\frac1{R-h}\right)} \]Проверка.
Тонкая стенка \((h\ll R)\): \(P\approx P_0+4\sigma/R\) ✓ — знаменитая формула для
мыльного пузыря, вдвое больше, чем у капли.
При \(h\to R\) (пузырь почти сплошной, внутренняя полость крошечная)
\(P\to\infty\) ✓ — крошечный пузырёк внутри воды и правда требует огромного давления.
Размерность ✓. Весом плёнки и гидростатикой внутри неё пренебрегаем, как и положено для
тонкой стенки ✓.
Числом: \(R=5\) см, \(h=1\) мкм: \(P-P_0=4\sigma/R=5{,}8\) Па ✓ — меньше сотой доли
процента атмосферного, поэтому пузырь так легко деформируется.
Ответ
\(P = P_0+2\sigma\left(1/R+1/(R-h)\right)\).