Задача 4.5.20вода в решете
Условие
Оцените, сколько воды можно унести в решете. Площадь решета и его ячейки равны соответственно 0,1 м² и 1 мм². Решето водой не смачивается.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В каждой ячейке вода провисает пузырьком. Чем больше давление сверху, тем сильнее выгиб и
тем меньше радиус кривизны. Предел — когда радиус станет равен половине размера ячейки:
дальше плёнка сорвётся.
Максимальный перепад. Ячейка со стороной \(a=1\) мм; наименьший возможный радиус кривизны \(R_{\min}=a/2=0{,}5\) мм. По Лапласу
\[ \Delta P_{\max} = \frac{2\sigma}{R_{\min}} = \frac{2\cdot0{,}073}{5\cdot10^{-4}} \approx 290\ \text{Па}. \]Высота столба воды:
\[ H = \frac{\Delta P_{\max}}{\rho g} = \frac{290}{10^3\cdot9{,}8} \approx 3\ \text{см}. \]Объём:
\[ V = S\,H = 0{,}1\cdot0{,}03 = 3\cdot10^{-3}\ \text{м}^3, \qquad \boxed{V \approx 3\ \text{л}} \]Проверка.
Три килограмма воды в решете — неожиданно много ✓, но именно так и работают
водоотталкивающие ткани и «непромокаемые» палатки.
Зависимость: \(H\propto1/a\) ✓ — вдвое более мелкая сетка удержит вдвое более высокий
столб.
Проверка размерности: \(\sigma/(a\rho g)\) — метры ✓.
Условие несмачивания важно ✓: смачиваемое решето вода прошла бы насквозь, вытянувшись
по нитям.
Ответ Около 3 л.