Задача 4.5.2почему шар
Условие
Почему вода в кабине космического корабля «висит» в воздухе в форме шара? Чем мельче капельки ртути на полу, тем больше их форма похожа на шар. Почему?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Форму выбирает минимум энергии. Претендентов двое: поверхностная энергия \(\sigma S\)
(хочет шар) и энергия тяжести (хочет расплющить). Кто победит — решает размер.
В невесомости тяжести нет вовсе, остаётся только поверхностная энергия. Она минимальна при минимальной площади, а наименьшую площадь при данном объёме имеет шар ✓.
На полу — соревнование энергий. Для капли размера \(r\):
\[ E_{\text{пов}} \sim \sigma r^2, \qquad E_{\text{тяж}} \sim \rho g r^3\cdot r = \rho g r^4 \;\text{(выигрыш от расплющивания)}. \]Точнее, отношение «расплющивающего» вклада к «стягивающему»
\[ \frac{\rho g r^3\cdot r}{\sigma r^2} = \frac{\rho g r^2}{\sigma}. \]Оно мало́ при
\[ r \ll a = \sqrt{\frac{\sigma}{\rho g}} \quad\text{— «капиллярная длина»}. \]Для ртути \(a=\sqrt{0{,}465/(13600\cdot9{,}8)}\approx1{,}9\) мм. Капли заметно мельче двух миллиметров — почти идеальные шарики, крупные — растекающиеся лепёшки ✓.
Проверка.
Для воды \(a=2{,}7\) мм ✓ — потому росинки на листе размером в миллиметр круглые, а
сантиметровая лужица плоская.
Толщина большой лужи ртути \(2a\approx4\) мм ✓ — знакомая всякому, кто разбивал
градусник.
Проверка предельным случаем: при \(g\to0\) капиллярная длина \(\to\infty\), и любая
капля «мала» ✓ — это и есть случай космического корабля.
Ответ
Шар — минимум площади, а значит и поверхностной энергии. Тяжесть мешает этому, но её
вклад относится к поверхностному как \(\rho gr^2/\sigma\); при
\(r\ll\sqrt{\sigma/\rho g}\) она несущественна.