Задача 4.5.3капля на потолке
Условие
Оцените максимальный размер капель воды, которые могут висеть на потолке. Поверхностное натяжение воды 0,073 Н/м.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Каплю держит плёнка по «шейке» — окружности, которой капля цепляется за потолок. Сила
\(\sigma\) на единицу длины этой окружности должна выдержать вес капли.
\[ \sigma\cdot2\pi r \;\ge\; \rho g\cdot\frac43\pi r^3
\quad\Longrightarrow\quad
r^2 \le \frac{3\sigma}{2\rho g}. \]
\[ r \le \sqrt{\frac{3\cdot0{,}073}{2\cdot10^3\cdot9{,}8}}
= \sqrt{1{,}12\cdot10^{-5}} \approx 3{,}3\ \text{мм} = 0{,}33\ \text{см}. \]
\[ \boxed{r \sim 0{,}5\ \text{см}} \]
Проверка.
Оценка совпадает по порядку с капиллярной длиной \(\sqrt{\sigma/\rho g}=2{,}7\) мм ✓ —
как и должно быть, другой длины в задаче просто нет.
Опыт подтверждает: капли на потолке ванной действительно не больше полусантиметра, более
крупные срываются ✓.
Оценка «сверху»: реальная капля отрывается чуть раньше, потому что шейка успевает
сузиться ✓ — поэтому знак \(\sim\), а не \(=\).
Масса такой капли \(\approx0{,}15\) г ✓ — привычный размер «крупной капли».
Ответ \(r\approx0{,}3\ldots0{,}5\) см.