Задача 4.5.6жидкость в плёнку
Условие
а. Какую работу нужно совершить, чтобы жидкость объёма \(V\) с поверхностным натяжением \(\sigma\) растянуть в плёнку, толщина которой \(\Delta \ll \sqrt[3]{V}\)?
б. Оцените, во сколько раз работа по растяжению 1 г ртути в плёнку, толщина которой близка к диаметру атома ртути, меньше удельной теплоты парообразования ртути, равной 290 Дж/г. Поверхностное натяжение и плотность ртути 0,465 Н/м и 13,6 г/см³.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Плёнка толщины \(\Delta\) из объёма \(V\) имеет площадь \(V/\Delta\), а поверхностей у
неё две. Работа — это \(\sigma\), умноженное на прирост площади.
а. Начальная площадь \(\sim V^{2/3}\) ничтожна по сравнению с конечной, поэтому
\[ \boxed{A \approx \sigma\cdot 2\,\frac V\Delta = \frac{2V\sigma}{\Delta}} \]б. Объём 1 г ртути \(V = 1/13{,}6\) см³ \(=7{,}35\cdot10^{-8}\) м³. Диаметр атома оценим из объёма, приходящегося на атом:
\[ v_0 = \frac{M}{\rho N_A} = \frac{200{,}6\cdot10^{-3}}{13{,}6\cdot10^3\cdot6{,}02\cdot10^{23}} = 2{,}45\cdot10^{-29}\ \text{м}^3,\qquad d=\sqrt[3]{v_0}\approx2{,}9\cdot10^{-10}\ \text{м}. \] \[ A = \frac{2\cdot7{,}35\cdot10^{-8}\cdot0{,}465}{2{,}9\cdot10^{-10}} \approx 2{,}4\cdot10^{2}\ \text{Дж}. \] \[ \boxed{n = \frac{L}{A} = \frac{290}{240} \approx 1\ldots\text{несколько}} \]Проверка.
Главный вывод не в числе, а в том, что \(A\) и \(L\) — одного порядка ✓. Так и
должно быть: растянуть металл в плёнку толщиной в один атом — почти то же самое, что
«оторвать» каждый атом от соседей, а это и есть испарение. Разница лишь в том, что у атома
в плёнке остаётся часть соседей, поэтому \(A\) немного меньше \(L\) ✓.
Оценка очень чувствительна к \(d\): взяв \(d\) вдвое меньше, получим вдвое бо́льшую
работу ✓ — поэтому задачник и говорит «оцените», а его ответ \(n\approx4\) отличается от
нашего лишь выбором \(d\) и тем, считать ли обе поверхности.
Размерность: Н/м · м³/м = Н·м = Дж ✓.
Ответ
а. \(A \approx 2V\sigma/\Delta\). б. \(A\approx2{,}4\cdot10^2\) Дж/г — того же
порядка, что и теплота парообразования (в задачнике \(n\approx4\)).