Задача 4.5.7парафиновый кубик
Условие
Железный кубик, смазанный парафином, плавает в воде так, что его верхняя грань находится на уровне воды. Вода не смачивает парафин. Найдите длину ребра кубика.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Кубик тяжелее воды — держит его не только Архимед, но и плёнка, которая цепляется за
верхнее ребро по всему периметру и тянет вверх.
\[ \underbrace{\rho_{\text{ж}}a^3g}_{\text{вес}}
= \underbrace{\rho_0a^3g}_{\text{Архимед}} + \underbrace{4a\sigma}_{\text{плёнка}} \]
\[ a^2\,(\rho_{\text{ж}}-\rho_0)\,g = 4\sigma
\ \Longrightarrow\
a = \sqrt{\frac{4\sigma}{(\rho_{\text{ж}}-\rho_0)g}}. \]
\[ a = \sqrt{\frac{4\cdot0{,}073}{(7800-1000)\cdot9{,}8}}
= \sqrt{4{,}4\cdot10^{-6}} \approx 2{,}1\ \text{мм}. \]
\[ \boxed{a \approx 2{,}1\ \text{мм}} \]
Проверка.
Считаем силы прямо: вес \(7800\cdot(2{,}1\cdot10^{-3})^3\cdot9{,}8=7{,}1\cdot10^{-4}\) Н;
Архимед \(0{,}91\cdot10^{-4}\) Н; плёнка \(4\cdot2{,}1\cdot10^{-3}\cdot0{,}073
=6{,}1\cdot10^{-4}\) Н; сумма \(7{,}0\cdot10^{-4}\) Н ✓ — сходится.
Порядок величины — миллиметры ✓, как и капиллярная длина.
Обратите внимание: плёнка держит почти в 7 раз больше, чем Архимед ✓ — для таких
крошечных тел поверхностное натяжение главнее выталкивающей силы.
Опечатка в задачнике. В ответах напечатано \(a=2{,}1\) см. Это в десять раз больше: кубик с ребром 2,1 см весил бы 0,7 Н, а плёнка удержала бы лишь \(4\cdot0{,}021\cdot0{,}073=6{,}1\cdot10^{-3}\) Н — в сто раз меньше нужного. Верный ответ — миллиметры.
Ответ
\(a=\sqrt{4\sigma/[(\rho_{\text{ж}}-\rho_0)g]}\approx2{,}1\) мм.