Задача 4.5.8несмачиваемая шайба
Условие
На поверхности жидкости плавает погружённая на глубину \(h\) шайба радиуса \(r\) и высоты \(2h\), не смачиваемая жидкостью. Плотность жидкости и шайбы равна \(\rho\). Поверхность жидкости соприкасается с боковой поверхностью шайбы. Определите поверхностное натяжение жидкости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Шайба той же плотности, что и жидкость, а погружена лишь наполовину — значит недостающую
половину веса держит плёнка по окружности \(2\pi r\).
\[ \underbrace{\rho\,\pi r^2\,2h\,g}_{\text{вес}}
= \underbrace{\rho\,\pi r^2 h\,g}_{\text{Архимед}} + \underbrace{2\pi r\,\sigma}_{\text{плёнка}}, \]
\[ \rho\pi r^2hg = 2\pi r\sigma
\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sigma = \frac{r\rho g h}{2}} \]
Проверка.
Размерность: м·(кг/м³)(м/с²)(м) = кг/с² = Н/м ✓.
Чем шире шайба, тем больше нужно \(\sigma\) при том же относительном погружении ✓ —
вес растёт как \(r^2\), а плёнка держит только как \(r\).
Обратная задача — способ измерения \(\sigma\): для воды и \(r=5\) мм получаем
\(h=2\sigma/(r\rho g)=2{,}98\) мм, то есть шайба высотой 6 мм ✓ — реалистичный опыт.
Условие «поверхность соприкасается с боковой поверхностью» существенно ✓: значит плёнка
цепляется за бок, и её сила вертикальна.
Ответ \(\sigma = r\rho gh/2\).