В капилляре, опущенном вертикально в воду на глубину \(l\), вода поднялась на высоту
\(h\). Нижний конец капилляра закрывают, вынимают капилляр из воды и вновь открывают.
Определите длину столба воды, оставшейся в капилляре, если смачивание полное.
К задаче 4.6.10 (рисунок из условия, перерисован): слева — капилляр в воде
(подъём \(h\), глубина \(l\)); в центре — вынутый с закрытым низом (столб \(l+h\));
справа — низ снова открыт, у нижнего конца повис выпуклый мениск.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В вынутом капилляре столб держат два мениска: верхний вогнутый тянет вверх, нижний
может выгнуться вниз и тоже подпереть. Каждый способен удержать столб высоты \(h\),
значит вместе — \(2h\).
Сколько воды в трубке. Пока капилляр в сосуде, вода внутри стоит на \(h\) выше
наружного уровня, а нижний конец — на \(l\) ниже него. Значит длина столба
\[ L = l + h. \]
Что может удержать вынутый капилляр. Полное смачивание, поэтому оба мениска
предельно изогнуты, с радиусом \(r\). Из условия \(h = 2\sigma/(\rho gr)\) следует
\(2\sigma/r = \rho g h\). Равновесие столба длины \(x\):
\[ \rho g x = \frac{2\sigma}{r}+\frac{2\sigma}{r} = 2\rho g h
\quad\Longrightarrow\quad x_{\max} = 2h. \]
В первом случае вся вода остаётся, во втором лишний столб \(l-h\) вытекает.
Проверка.
При \(l=h\) оба выражения дают \(2h\) ✓ — сшивка непрерывна.
Если \(l<h\), нижний мениск не «работает на полную»: он лишь слегка выпуклый, а при
\(l\to0\) даже вогнутый ✓.
Столб длиннее \(2h\) в такой трубке невозможен ✓ — это тот же предел, что и в задаче
4.6.6 (там получилось 6 см при \(h=3\) см) ✓.
Числом: вода, \(r=0{,}2\) мм: \(h=7{,}4\) см; опустив капилляр на 20 см, после вынимания
получим ровно 14,8 см воды ✓.
Ответ
\(x = l+h\) при \(l<h\); \(x = 2h\) при \(l>h\).