Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси \(OO'\). Длина капилляра \(2l\), его радиус \(r\). Плотность жидкости \(\rho\), а поверхностное натяжение \(\sigma\). Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнёт из него вытекать?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Где жидкость. При вращении жидкость прижимается к наружному концу: она занимает участок от оси (радиус 0) до конца капилляра (радиус \(l\)), то есть ровно половину длины \(2l\).
Перепад давления. В поле \(\omega^2 x\) он равен
\[ \Delta P = \frac{\rho\omega^2 l^2}{2} \](это «гидростатика» с переменным ускорением: среднее значение \(\omega^2x\) на отрезке равно \(\omega^2l/2\), умножаем на \(\rho l\)).
Что держит. Внутренний мениск при полном смачивании вогнут предельно, радиус \(r\), и создаёт разрежение
\[ \frac{2\sigma}{r}. \]Наружный мениск помочь не может: жидкость полностью смачивает капилляр, поэтому, дойдя до среза, она растекается по торцу, а не выпучивается шариком. Условие вытекания:
\[ \frac{\rho\omega^2l^2}{2} = \frac{2\sigma}{r} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\omega = \frac2l\sqrt{\frac{\sigma}{\rho r}}} \]