Жидкость в длинном капилляре поднимается на высоту \(h\). Определите радиус кривизны
мениска в коротком капилляре, длина которого \(h/2\). Радиус обоих капилляров \(r\),
краевой угол \(\theta\).
К задаче 4.6.8 (рисунок из условия, перерисован): в длинном капилляре жидкость
стоит на высоте \(h\); короткий капилляр высоты \(h/2\) заполнен до края, и его мениск
распрямился.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
В коротком капилляре жидкость доходит до верха и останавливается: мениск распрямляется
ровно настолько, чтобы удержать столб вдвое меньшей высоты. Значит его радиус кривизны
вдвое больше.
Длинный капилляр. Радиус мениска \(R = r/\cos\theta\), и
\[ \frac{2\sigma}{R} = \rho g h \quad\Longrightarrow\quad
h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}. \]
Короткий капилляр. Жидкость поднялась на \(h/2\), значит мениск держит вдвое
меньший перепад:
То есть радиус вдвое больше, чем в длинном капилляре; мениск стал более пологим, а
эффективный краевой угол на срезе — больше \(\theta\).
Проверка.
При \(\theta=0\): \(R_x = 2r\) ✓ — вдвое больше радиуса трубки, вполне возможная
пологая шапочка.
Общее правило: в капилляре длины \(h/n\) радиус мениска \(nr/\cos\theta\) ✓ — жидкость
никогда не выливается из короткого капилляра, она просто останавливается у среза.
Это классический «парадокс»: капилляр не работает как вечный насос ✓.
Размерность ✓; \(R_x>r\), как и должно быть для мениска в трубке радиуса \(r\) ✓.