Вертикальный капилляр радиуса \(r\) и высоты \(h\) соединён с широким сосудом трубкой на уровне дна сосуда. Как зависит разность уровней жидкости в сосуде и капилляре от высоты \(x\) уровня жидкости в сосуде? При каком значении \(x\) жидкость начнёт выливаться из капилляра? Поверхностное натяжение жидкости \(\sigma\), её плотность \(\rho\). Жидкость полностью смачивает капилляр.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим жюреновскую высоту \(H = 2\sigma/(\rho gr)\).
Этап 1: мениск внутри капилляра, то есть \(x + H \le h\). Разность уровней постоянна:
\[ \Delta x = H = \frac{2\sigma}{\rho g r}, \qquad 0 < x < h-\frac{2\sigma}{\rho gr}. \]Этап 2: мениск на срезе. Дальше подниматься некуда, мениск остаётся на высоте \(h\), но становится всё более пологим — его радиус кривизны растёт. Тогда
\[ \Delta x = h - x, \qquad h-\frac{2\sigma}{\rho gr} < x < h+\frac{2\sigma}{\rho gr}. \](При \(x=h\) мениск плоский; при \(x>h\) он становится выпуклым и жидкость вспучивается над срезом.)
Когда польётся. Максимальная выпуклость — полусфера радиуса \(r\), она удерживает перепад \(2\sigma/r\), то есть столб высоты \(H\):
\[ \boxed{x_0 = h + \frac{2\sigma}{\rho g r}} \]