В двух длинных открытых с обеих сторон капиллярах, расположенных вертикально, находятся
столбики воды длины 2 и 4 см. Найдите радиус кривизны нижнего мениска в каждом из
капилляров, если их внутренний диаметр равен 1 мм, а смачивание полное.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
РешениеВерхний мениск в обоих случаях вогнут «до предела» (радиус равен радиусу
трубки). Нижний подстраивается так, чтобы уравновесить вес столбика.
Идея
Верхний мениск при полном смачивании вогнут «до упора»: его радиус равен радиусу трубки
\(R=0{,}5\) мм. Нижний подстраивается так, чтобы удержать столбик. Пройдём по столбику
сверху вниз и посмотрим, что получится внизу.
Сверху вниз. Над верхним мениском атмосферное \(P_0\); под ним
Спускаясь на длину столбика \(L\), прибавляем \(\rho gL\). Значит над нижним
мениском
\[ P_{\text{низ}} = P_0 - 292 + \rho g L. \]
Столбик 2 см. \(\rho gL = 196\) Па, поэтому \(P_{\text{низ}}=P_0-96\) Па:
давление внутри меньше атмосферного, значит нижний мениск тоже вогнутый (выгнут
вверх, внутрь жидкости):
Столбик 4 см. \(\rho gL = 392\) Па, \(P_{\text{низ}}=P_0+100\) Па: давление
больше атмосферного, нижний мениск выпуклый (провисает вниз):
\[ \frac{2\sigma}{r_4}=100\ \text{Па} \ \Longrightarrow\
r_4 = \frac{0{,}146}{100} \approx 1{,}5\ \text{мм}. \]
\[ \boxed{|r_2| = |r_4| \approx 1{,}5\ \text{мм};\ \text{у 2 см — вогнутый,
у 4 см — выпуклый}} \]
Проверка.
Оба радиуса больше радиуса трубки (0,5 мм) ✓ — иначе мениск не смог бы существовать.
«Нейтральная» длина, при которой нижний мениск плоский: \(\rho gL=292\) Па, то есть
\(L=3\) см ✓ — она как раз между 2 и 4 см, поэтому знаки разные.
Максимально возможная длина столбика: когда оба мениска предельно изогнуты,
\(\rho gL = 4\sigma/R = 584\) Па, \(L=6\) см ✓ — более длинный столбик в такой трубке
не удержится и вытечет.
Знак в ответах задачника (\(r_2=-1{,}5\) мм, \(r_4=+1{,}5\) мм) как раз и означает
противоположные направления выпуклости ✓.
Ответ
\(|r|\approx1{,}5\) мм в обоих случаях; у столбика 2 см нижний мениск вогнутый, у
столбика 4 см — выпуклый.