В сосуд с водой, температуру которой изменяют, опускают изогнутый стеклянный капилляр
радиуса \(r=0{,}1\) мм. График температурной зависимости поверхностного натяжения показан
на рисунке. При какой температуре вода потечёт из сосуда, если \(H=15\) см?
К задаче 4.6.11 (рисунок из условия, перерисован): изогнутый капилляр выведен
через край сосуда, его наружный конец на \(H\) ниже уровня воды; справа — график
\(\sigma(t)\): от 0,076 Н/м при 0 °C до 0,073 Н/м при 20 °C.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Капилляр работает как сифон: вода должна сначала подняться на высоту \(H\) до перегиба.
Она поднимется, если жюреновская высота \(2\sigma/(\rho gr)\) не меньше \(H\). А
\(\sigma\) падает с ростом температуры — значит поток пойдёт при охлаждении.
\[ \frac{2\sigma}{\rho g r} \ge H
\quad\Longrightarrow\quad
\sigma \ge \frac{\rho g r H}{2}. \]
\[ \sigma_{\min} = \frac{10^3\cdot9{,}8\cdot10^{-4}\cdot0{,}15}{2}
= 7{,}35\cdot10^{-2}\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}. \]
По графику \(\sigma(t)\) такое значение поверхностного натяжения воды достигается
примерно при
\[ \boxed{t \approx 17\ {}^\circ\text{C}} \]
и ниже: охладив воду до 17 °C, мы «включаем» сифон.
Проверка.
Табличные значения: \(\sigma=72{,}8\) мН/м при 20 °C и 74,2 мН/м при 10 °C ✓ — искомые
73,5 мН/м лежат как раз посередине.
Чувствительность: \(\sigma\) меняется примерно на 0,15 мН/м на градус, то есть высота
подъёма — на 0,3 мм на градус ✓; чтобы «переключить» сифон, хватает нескольких градусов.
Логика знака ✓: горячая вода поднимается хуже — на этом основан простой опыт, где сифон
запускается при остывании.
Проверка предельного случая: при \(H\to0\) течь будет при любой температуре ✓.