Задача 4.6.12капля в конусе
Условие
Куда будет двигаться капля смачивающей и несмачивающей жидкости в горизонтально расположенном коническом капилляре?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
У капли два мениска в трубках разного радиуса. Лапласовские скачки на них разные, и
разность «толкает» каплю. Достаточно посмотреть, какой мениск сильнее.
Смачивающая жидкость. Оба мениска вогнутые; давление внутри капли ниже атмосферного на \(2\sigma/R_i\), где \(R_i\) — радиус соответствующего мениска. Со стороны узкого конца радиус меньше, значит там разрежение сильнее — оно и тянет каплю. Капля ползёт в узкую часть.
Несмачивающая жидкость. Оба мениска выпуклые, давление внутри капли выше атмосферного. Со стороны узкого конца избыток больше — он выталкивает каплю. Капля ползёт в широкую часть.
Формула. Если радиусы трубки у концов капли \(r_1<r_2\), то результирующая сила
\[ F = \pi r^2\,2\sigma\cos\theta\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right) \ \text{— к узкому концу при }\cos\theta>0. \]Проверка.
Знак меняется вместе с \(\cos\theta\) ✓ — ровно на границе (краевой угол 90°) капля
неподвижна.
Природный пример: вода в клине между двумя почти сомкнутыми пластинами всегда убегает в
узкое место ✓; на этом же основано движение сока в конических клетках растений.
Ртуть в конической трубке, наоборот, выталкивается в широкую часть ✓ — легко проверить.
Предел \(r_1\to r_2\) даёт \(F\to0\) ✓ — в цилиндрической трубке капля стоит.
Ответ
Смачивающая — в сторону узкой части, несмачивающая — в сторону широкой.