На какую высоту поднимется жидкость по вертикальному коническому капилляру с углом при
вершине \(\alpha\ll1\) рад? Плотность жидкости \(\rho\), её поверхностное натяжение
\(\sigma\), высота капилляра \(H\). Жидкость полностью смачивает капилляр.
К задаче 4.6.13 (рисунок из условия, перерисован): конический капилляр высоты
\(H\) стоит вершиной вверх (угол при вершине \(\alpha\)); жидкость поднялась по нему и
остановилась.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Капилляр сужается кверху (вершина конуса вверху). На высоте \(x\) радиус трубки уже
известен, и условие остановки мениска — то же, что у обычного капилляра: жюреновская
высота для местного радиуса равна \(x\).
Радиус на высоте \(x\). Вершина конуса на высоте \(H\), полуугол
\(\alpha/2\), поэтому
Если же \(\alpha < 16\sigma/(\rho gH^2)\), подкоренное выражение отрицательно:
уравнение решений не имеет, всасывание побеждает на всём пути, и жидкость доходит до
самого верха:
\[ \boxed{x = H} \]
Проверка.
При \(\alpha\to\infty\) (почти цилиндрическая широкая воронка) корень даёт
\(x\approx4\sigma/(\rho g\alpha H)\to0\) ✓ — в широком конусе жидкость почти не
поднимается.
Граничный случай \(\alpha = 16\sigma/(\rho gH^2)\) даёт \(x=H/2\) ✓ — мениск
останавливается ровно посередине, дальше идти уже не может.
Второй (больший) корень — неустойчивое равновесие ✓: если жидкость каким-то образом
оказалась выше него, она пойдёт до верха.
Числом: вода, \(H=10\) см: критический угол \(16\cdot0{,}073/(9800\cdot0{,}01)
= 0{,}012\) рад \(\approx0{,}7^{\circ}\) ✓ — очень тонкий конус втягивает воду целиком.
Размерность подкоренного выражения безразмерна ✓.
Ответ
\(x = \dfrac H2\left(1-\sqrt{1-\dfrac{16\sigma}{\rho g\alpha H^2}}\right)\) при
\(\alpha>16\sigma/(\rho gH^2)\); иначе \(x=H\).