Задача 4.6.14между пластинами
Условие
На какую высоту поднимется жидкость между двумя вертикальными пластинами, расстояние между которыми \(\Delta\), если краевой угол у первой пластины \(\theta_1\), у второй \(\theta_2\)? Плотность жидкости \(\rho\), её поверхностное натяжение \(\sigma\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Всё как в круглом капилляре, только «периметр» — это две линии смачивания на единицу
ширины, а вертикальные составляющие силы плёнки у пластин разные.
Сила плёнки на единицу ширины (две линии смачивания):
\[ F = \sigma\cos\theta_1 + \sigma\cos\theta_2. \]Вес поднятой жидкости на единицу ширины: столб сечения \(\Delta\), высоты \(x\):
\[ P = \rho g\,x\,\Delta. \] \[ \boxed{x = \frac{\sigma\,(\cos\theta_1+\cos\theta_2)}{\rho g\,\Delta}} \]Проверка.
Одинаковые смачиваемые пластины \((\theta_1=\theta_2=0)\):
\(x = 2\sigma/(\rho g\Delta)\) ✓ — знакомая формула для щели, вдвое больше, чем у
круглого капилляра того же «радиуса» \(\Delta\)… точнее, столько же, сколько у трубки
радиуса \(\Delta\) ✓.
Если \(\theta_2=\pi-\theta_1\), то \(x=0\) ✓ — подъёма нет вовсе (см. задачу 4.6.15).
Обе несмачиваемые: \(x<0\) ✓ — жидкость опускается.
Размерность ✓. Числом: вода, \(\Delta=0{,}1\) мм, полное смачивание: \(x=15\) см ✓ —
именно так вода поднимается между близко сдвинутыми стёклами.
Ответ
\(x = \sigma(\cos\theta_1+\cos\theta_2)/(\rho g\Delta)\).