С какой силой притягиваются друг к другу две параллельные квадратные пластины со
стороной \(a\), частично погружённые в жидкость, если они не смачиваются жидкостью?
Плотность жидкости \(\rho\), расстояние между пластинами \(\Delta\), поверхностное
натяжение жидкости \(\sigma\).
К задаче 4.6.16 (рисунок из условия, перерисован): между несмачиваемыми
пластинами (зазор \(\Delta\)) уровень жидкости опущен, мениск выпуклый; снаружи уровень
у пластин слегка поджат вниз.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Между несмачиваемыми пластинами уровень опущен на \(x\). Значит на высоте от
\(-x\) до 0 снаружи жидкость есть, а внутри её нет: снаружи давит, изнутри нет — вот
и притяжение.
Опускание уровня (задача 4.6.14 при \(\theta_1=\theta_2=\pi\)):
\[ x = \frac{2\sigma}{\rho g\Delta}. \]
Сила. На участке высоты \(x\) наружная жидкость давит на пластину внутрь с
гидростатическим давлением \(\rho g z\) (\(z\) — глубина под наружным уровнем), а
изнутри там воздух:
\[ F = a\int_0^{x}\rho g z\,dz = \frac{\rho g a x^2}{2}
= \frac{\rho g a}{2}\left(\frac{2\sigma}{\rho g\Delta}\right)^2, \]
\[ \boxed{F = \frac{2a\sigma^2}{\rho g\,\Delta^2}} \]
Проверка.
Размерность: м·(Н/м)²/((кг/м³)(м/с²)м²) = Н ✓.
Зависимость \(1/\Delta^2\) ✓ — сила резко растёт при сближении; поэтому две мокрые
несмачиваемые пластинки так трудно раздвинуть… точнее, для несмачиваемых — так трудно
развести, а для смачиваемых притяжение возникает по той же причине с обратным знаком
уровня, и формула та же ✓.
Числом: \(a=10\) см, \(\Delta=0{,}1\) мм, вода:
\(F = 2\cdot0{,}1\cdot0{,}073^2/(9800\cdot10^{-8}) = 10{,}9\) Н ✓ — больше килограмма!
Именно так «слипаются» мокрые стёкла.
Предельная проверка: \(\sigma\to0\) даёт \(F\to0\) ✓.