На какую высоту поднимется жидкость плотности \(\rho\) в полностью смачиваемом
капилляре, если его поперечное сечение \(S\), а периметр этого сечения \(l\)? Как
зависит период малых вертикальных колебаний жидкости в этом капилляре от высоты жидкости?
Поверхностное натяжение жидкости \(\sigma\).
К задаче 4.6.17 (рисунок из условия, перерисован): жидкость поднялась по
капилляру произвольного сечения; стрелки — малые вертикальные колебания столба.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Плёнка тянет вверх по всей линии смачивания — то есть по периметру \(l\). Вес держит
столб сечения \(S\). Отсюда высота. А колебания около равновесия — это маятник с
«длиной» \(h\).
Высота. При полном смачивании вертикальная составляющая силы плёнки равна
\(\sigma l\):
\[ \sigma l = \rho g\,S\,h \quad\Longrightarrow\quad
\boxed{h = \frac{\sigma l}{\rho g S}} \]
Колебания. Пусть жидкость отклонилась от равновесия на \(\xi\). Сила плёнки не
изменилась (мениск всё так же предельно изогнут), а вес вырос на \(\rho g S\xi\).
Возвращающая сила
\[ F = -\rho g S\,\xi, \]
а движется масса всего столба \(m=\rho S h\) (при малых колебаниях длина столба
практически \(h\)). Значит
\[ \omega^2 = \frac{\rho g S}{\rho S h} = \frac gh,
\qquad \boxed{T = 2\pi\sqrt{\frac hg}} \]
Проверка.
Круглый капилляр: \(S=\pi r^2\), \(l=2\pi r\), и \(h=2\sigma/(\rho gr)\) ✓ —
формула Жюрена как частный случай.
Плоская щель ширины \(\Delta\) на единицу ширины: \(S=\Delta\), \(l=2\), и
\(h=2\sigma/(\rho g\Delta)\) ✓ — совпадает с задачей 4.6.14.
Период такой же, как у математического маятника длины \(h\) ✓ — изящный результат: чем
выше поднялась жидкость, тем медленнее она колеблется.
Числом: \(h=15\) см даёт \(T=0{,}78\) с ✓ — легко наблюдать.
Замечание: в реальном тонком капилляре вязкость гасит эти колебания за один-два периода ✓
(см. задачу 4.6.2, где половина работы ушла в тепло).
Ответ
\(h = \sigma l/(\rho g S)\); \(T = 2\pi\sqrt{h/g}\).