Задача 5.1.1частички тумана
Условие
Оцените среднюю кинетическую энергию и среднеквадратичную скорость частичек тумана диаметра 10 мкм, находящихся в воздухе при температуре 5 °C.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Броуновская частица — это «очень тяжёлая молекула». На неё распространяется тот же закон
равнораспределения: на каждую степень свободы приходится \(kT/2\), значит средняя
кинетическая энергия поступательного движения равна \(3kT/2\) независимо от массы.
Энергия. \(T = 278\) К:
\[ \langle K\rangle = \frac32 kT = 1{,}5\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot278 \approx 5{,}8\cdot10^{-21}\ \text{Дж}. \]Масса частички. Радиус \(r=5\) мкм, вода:
\[ m = \rho\frac43\pi r^3 = 10^3\cdot\frac43\pi\,(5\cdot10^{-6})^3 \approx 5{,}2\cdot10^{-13}\ \text{кг}. \]Скорость.
\[ \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{\frac{2\langle K\rangle}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot5{,}8\cdot10^{-21}}{5{,}2\cdot10^{-13}}} \approx 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м/с}. \] \[ \boxed{\langle K\rangle\approx5{,}8\cdot10^{-21}\ \text{Дж},\qquad \sqrt{\langle v^2\rangle}\approx1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{м/с}} \]Проверка.
Энергия та же, что у молекулы воздуха при той же температуре ✓ — в этом весь смысл
равнораспределения. А скорость меньше молекулярной (500 м/с) в
\(\sqrt{m_{\text{част}}/m_{\text{мол}}}\approx3\cdot10^6\) раз ✓.
0,15 мм/с — это как раз наблюдаемое «дрожание» пылинок в микроскоп ✓.
Порядок массы: полтриллионной доли грамма ✓ — типичная капелька тумана.
За секунду частичка смещается заметно меньше 0,15 мм ✓, ведь движение хаотическое, а не
прямолинейное.
Ответ
\(\langle K\rangle\approx5{,}8\cdot10^{-21}\) Дж,
\(\sqrt{\langle v^2\rangle}\approx1{,}5\cdot10^{-4}\) м/с.