Задача 5.1.2две броуновские частицы
Условие
Во сколько раз различаются среднеквадратичные скорости двух частичек, совершающих броуновское движение в капле воды, если их массы различаются в четыре раза?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Средняя кинетическая энергия у обеих одинакова — \(3kT/2\). Значит \(mv^2\) одинаково,
и скорость обратно пропорциональна корню из массы.
\[ \frac{m_1\langle v_1^2\rangle}{2}=\frac{m_2\langle v_2^2\rangle}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{\sqrt{\langle v_1^2\rangle}}{\sqrt{\langle v_2^2\rangle}}
= \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt4 = 2. \]
\[ \boxed{\text{В два раза}} \]
Проверка.
Ответ не зависит ни от температуры, ни от того, из чего частицы сделаны ✓ — только
отношение масс.
Если бы массы различались в 100 раз, скорости различались бы в 10 раз ✓.
Заметьте: смещения за время наблюдения различаются иначе — там работает
диффузия, и связь с массой уже не такая простая ✓.
Ответ В два раза.