Задача 5.1.3инфузория
Условие
Оцените массу инфузории, на направленное движение которой со скоростью 1 мкм/с слабо влияет тепловое движение.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
«Слабо влияет» — значит тепловая скорость должна быть меньше скорости собственного
движения. Приравняв их, получим границу.
\[ \sqrt{\frac{3kT}{m}} \lesssim v \quad\Longrightarrow\quad
m \gtrsim \frac{3kT}{v^2}. \]
\[ m \gtrsim \frac{3\cdot1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{(10^{-6})^2}
= \frac{1{,}24\cdot10^{-20}}{10^{-12}}
\approx 1{,}2\cdot10^{-8}\ \text{кг}. \]
\[ \boxed{m \gtrsim 0{,}01\ \text{мг}} \]
Проверка.
Такой массе воды соответствует шарик радиуса
\(\sqrt[3]{3m/(4\pi\rho)}\approx0{,}14\) мм ✓ — как раз размер крупной инфузории
(туфелька — около 0,2 мм) ✓. Эволюция «знала», где проходит граница.
Мелкие бактерии (микрон, \(10^{-15}\) кг) этой границе не удовлетворяют ✓ — и правда,
их сильно колотит тепловым движением, они плавают «дёргаясь».
Размерность: Дж/(м²/с²) = кг ✓.
Ответ \(m\gtrsim0{,}01\) мг.