Задача 5.1.4тепловое дрожание маятника
Условие
Определите среднеквадратичное отклонение маятника от положения равновесия, вызываемое тепловым движением шарика маятника. Температура воздуха 20 °C. Масса шарика 1 мг, длина нити маятника 10 м.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Маятник при малых отклонениях — это пружинка с жёсткостью \(k_{\text{пр}} = mg/l\). На
каждую «квадратичную» степень свободы (потенциальную энергию) приходится \(kT/2\).
\[ \frac{k_{\text{пр}}\langle x^2\rangle}{2} = \frac{kT}{2},
\qquad k_{\text{пр}} = \frac{mg}{l}, \]
\[ \langle x^2\rangle = \frac{kT\,l}{mg}
= \frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot293\cdot10}{10^{-6}\cdot9{,}8}
\approx 4{,}1\cdot10^{-15}\ \text{м}^2, \]
\[ \boxed{\sqrt{\langle x^2\rangle} \approx 6{,}4\cdot10^{-8}\ \text{м}
\approx 0{,}06\ \text{мкм}} \]
Проверка.
Размерность: Дж·м/(кг·м/с²) = м² ✓.
Величина в сотни раз меньше длины волны света ✓ — увидеть такое дрожание глазом нельзя,
но оно ставит предел точности крутильных и маятниковых приборов.
Чтобы дрожание уменьшить, надо брать более тяжёлый шарик и короткую нить ✓ — и правда,
точные весы делают жёсткими.
Проверка через энергию: \(k_{\text{пр}}=10^{-6}\cdot9{,}8/10=9{,}8\cdot10^{-7}\) Н/м,
и \(k_{\text{пр}}\langle x^2\rangle/2 = 2\cdot10^{-21}\) Дж \(=kT/2\) ✓.
Ответ
\(\sqrt{\langle x^2\rangle}\approx6{,}4\cdot10^{-8}\) м.