Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.1. Тепловое движение частиц

Савченко, задача 5.1.5

Задача 5.1.5зеркальце гальванометра

Условие

Зеркальце гальванометра подвешено на кварцевой нити. На зеркальце падает узкий параллельный луч света и, отражаясь от него, попадает на экран, расположенный на расстоянии 20 м от зеркальца. Температура воздуха 300 K. Оцените, на сколько увеличится радиус светового пятна на экране в результате теплового движения зеркальца, если при повороте зеркальца на угол \(\varphi\) на него со стороны нити действует момент сил \(M=-\varkappa\varphi\), где \(\varkappa = 1{,}38\cdot10^{-15}\) Н·м. Как изменится ответ, если температуру воздуха понизить до 100 K?

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Крутильный подвес — снова «пружинка», только угловая. Равнораспределение даёт \(\varkappa\langle\varphi^2\rangle/2 = kT/2\). А зайчик поворачивается вдвое быстрее зеркальца.

\[ \langle\varphi^2\rangle = \frac{kT}{\varkappa} = \frac{1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300}{1{,}38\cdot10^{-15}} = 3\cdot10^{-6}\ \text{рад}^2, \qquad \varphi_{\text{ск}} = 1{,}7\cdot10^{-3}\ \text{рад}. \]

При повороте зеркальца на \(\varphi\) отражённый луч поворачивается на \(2\varphi\), и пятно на экране смещается на \(2\varphi L\):

\[ \Delta r = 2\varphi_{\text{ск}}L = 2\cdot1{,}7\cdot10^{-3}\cdot20 \approx 0{,}07\ \text{м}. \] \[ \boxed{\Delta r \approx 7\ \text{см}} \]

При 100 K: \(\langle\varphi^2\rangle\) втрое меньше, \(\varphi_{\text{ск}}\) — в \(\sqrt3\) раза:

\[ \Delta r' = \frac{7}{\sqrt3} \approx 4\ \text{см}. \]

Проверка. Пятно «размазывается» на 7 см при плече 20 м ✓ — это и есть предел чувствительности зеркального гальванометра, знаменитый результат: сколько ни увеличивай плечо, отношение сигнала к тепловому шуму не улучшится, ведь и сигнал растёт как \(L\). Зависимость \(\Delta r\propto\sqrt T\) ✓ — охлаждение помогает, но медленно: втрое более холодный прибор точнее лишь в 1,7 раза. Величина \(\varkappa=1{,}38\cdot10^{-15}\) подобрана так, что \(kT/\varkappa\) — круглое число ✓. Размерность: Дж/(Н·м) — безразмерная ✓, как и положено квадрату угла.

Ответ \(\Delta r\approx7\) см; при 100 K — около 4 см.

Следующая задача 5.1.6 →