Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.1. Тепловое движение частиц

Савченко, задача 5.1.6

Задача 5.1.6пористая перегородка
Условие

Сосуд разделён на две секции пористой перегородкой. В одной секции находится газ, состоящий из лёгких молекул, в другой — из тяжёлых. Давление газа в обеих секциях сосуда в начальный момент одинаково. Через некоторое время давление в той секции сосуда, где находились тяжёлые молекулы, увеличилось. Затем, через более длительный промежуток времени, давление в обеих секциях сосуда выравнялось. Объясните этот эффект.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея Сквозь узкие поры газ проходит не «потоком», а поодиночке: число молекул, пролетающих через отверстие в секунду, пропорционально \(n\bar v\), а \(\bar v\propto1/\sqrt\mu\). Значит лёгкие молекулы просачиваются быстрее.

Начальный этап. Давления равны, значит равны и концентрации \(n\) (температура общая). Но поток через поры

\[ j \propto n\bar v \propto \frac{n}{\sqrt{\mu}} \]

у лёгкого газа больше. Поэтому лёгкие молекулы уходят в «тяжёлую» секцию быстрее, чем тяжёлые в «лёгкую». Там прибавляется больше молекул, чем убывает, — и давление растёт ✓. В «лёгкой» секции, наоборот, падает.

Позже. Возникший перепад давления гонит газ обратно. Процесс идёт, пока не установится полное равновесие: оба газа равномерно перемешаны, концентрация каждого одинакова по обе стороны, встречные потоки каждого сорта равны, и давления сравниваются ✓.

Почему сначала «неправильно», а потом правильно. Быстрый этап — это разность подвижностей; медленный — установление истинного равновесия. Именно так работает классический опыт с пористым стаканчиком и водородом, где вода из трубки сначала бьёт фонтаном, а потом всё возвращается.

Проверка. Отношение начальных потоков \(\sqrt{\mu_{\text{тяж}}/\mu_{\text{лёг}}}\) ✓ — например, водород сквозь пористую стенку идёт в 4 раза быстрее кислорода. На этом же эффекте основано разделение изотопов урана диффузионным методом ✓ — правда, там отношение масс \(352/349\), и коэффициент разделения за одну ступень всего 1,0043. В конечном состоянии давление в каждой секции равно исходному ✓ (число молекул сохранилось, объём и температура те же).
Ответ Лёгкие молекулы подвижнее и просачиваются быстрее, поэтому сначала их число в «тяжёлой» секции растёт быстрее, чем убывает число тяжёлых, — давление там повышается; затем устанавливается полное равновесие и давления выравниваются.
Следующая задача 5.1.7 →