Савченко · Глава 5. Молекулярная физика · § 5.1. Тепловое движение частиц

Савченко, задача 5.1.7

Задача 5.1.7гелий и водород

Условие

В секции 1 сосуда находится смесь гелия с водородом. Давление водорода и гелия одинаково. В секции 2 сосуда вакуум. На короткое время в перегородке открывают отверстие \(A\). Определите отношение давления гелия к давлению водорода в секции 2.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Отверстие открывают ненадолго: успевает пройти лишь малая доля молекул, и состав в секции 1 практически не меняется.

Идея Через отверстие каждый газ течёт сам по себе (эффузия): число молекул в секунду пропорционально \(n\bar v\). Парциальные давления одинаковы, значит одинаковы и концентрации; всё решает средняя скорость.

\[ \frac{N_{\text{He}}}{N_{\text{H}_2}} = \frac{n_{\text{He}}\bar v_{\text{He}}}{n_{\text{H}_2}\bar v_{\text{H}_2}} = \frac{\bar v_{\text{He}}}{\bar v_{\text{H}_2}} = \sqrt{\frac{\mu_{\text{H}_2}}{\mu_{\text{He}}}} = \sqrt{\frac24} = \frac1{\sqrt2}. \]

В секции 2 газы имеют одну и ту же температуру и объём, поэтому отношение давлений равно отношению чисел молекул:

\[ \boxed{\frac{P_{\text{He}}}{P_{\text{H}_2}} = \frac{1}{\sqrt2}\approx0{,}71} \]

Проверка. Водорода перелетело больше ✓ — он легче и быстрее, хотя молекул в секции 1 было поровну. Именно так работает эффузионное разделение ✓. Условие «на короткое время» существенно ✓: иначе состав в секции 1 успел бы измениться и отношение поплыло бы. Проверка предельного случая: если бы массы были равны, отношение было бы 1 ✓. Числом: \(\bar v_{\text{H}_2}=1760\) м/с, \(\bar v_{\text{He}}=1245\) м/с при 300 К, отношение 0,707 ✓.

Ответ \(P_{\text{He}}/P_{\text{H}_2} = 1/\sqrt2\).

Следующая задача 5.1.8 →