Задача 5.5.13подъёмная сила аэростата
Условие
Зависит ли подъёмная сила аэростата от температуры окружающего воздуха?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Подъёмная сила — это разность весов вытесненного воздуха и содержимого оболочки. Обе
плотности одинаково зависят от температуры, если газы находятся при одном давлении и одной
температуре.
\[ F = (\rho_{\text{возд}}-\rho_{\text{газ}})\,gV
= \frac{P_0V g}{RT}\,(\mu_{\text{возд}}-\mu_{\text{газ}})\ \ldots \]
Кажется, что \(F\propto1/T\). Но у аэростата оболочка мягкая: масса газа внутри задана, объём подстраивается. При заданной массе газа \(m\)
\[ V = \frac{m}{\mu_{\text{газ}}}\frac{RT}{P_0}, \qquad F = \rho_{\text{возд}}gV - mg = \frac{\mu_{\text{возд}}P_0}{RT}\,g\,\frac{mRT}{\mu_{\text{газ}}P_0} - mg, \] \[ \boxed{F = mg\left(\frac{\mu_{\text{возд}}}{\mu_{\text{газ}}}-1\right) \ \text{— от температуры не зависит}} \]Проверка.
Температура сократилась ✓ — оболочка расширяется ровно настолько, насколько «редеет»
воздух.
От давления тоже не зависит ✓ — тот же механизм.
Для водорода \((\mu=2)\): \(F = mg(29/2-1) = 13{,}5mg\) ✓ — как раз ответ задачи 5.5.28.
Оговорка: рассуждение верно, пока оболочка не натянулась ✓; у жёсткого дирижабля объём
фиксирован, и тогда \(F\propto1/T\).
Ответ
Не зависит: при мягкой оболочке объём растёт с температурой ровно так же, как падает
плотность воздуха.