Задача 5.5.12откачивающий насос
Условие
За сколько ходов поршневого насоса с рабочим объёмом \(V\) можно понизить давление в сосуде вместимости \(V_0\) с атмосферного \(P_0\) до \(P\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Каждый ход умножает давление на один и тот же множитель: газ расширяется из
\(V_0\) в \(V_0+V\), а потом «лишняя» часть выбрасывается. Значит убывание —
геометрическая прогрессия.
Один ход:
\[ P_1 V_0 \ \to\ P_1(V_0+V) \ \Rightarrow\ P_{\text{нов}} = P_{\text{стар}}\,\frac{V_0}{V_0+V}. \]После \(n\) ходов:
\[ P = P_0\left(\frac{V_0}{V_0+V}\right)^{n} \ \Longrightarrow\ \boxed{n = \frac{\ln(P_0/P)}{\ln\left(1+V/V_0\right)}} \]Проверка.
При \(P=P_0\) получаем \(n=0\) ✓.
Полностью откачать нельзя ни за какое конечное число ходов ✓ — при \(P\to0\)
\(n\to\infty\).
Если \(V\ll V_0\), то \(\ln(1+V/V_0)\approx V/V_0\) и \(n\approx (V_0/V)\ln(P_0/P)\) ✓.
Числом: \(V_0=10\) л, \(V=0{,}2\) л, откачать в 100 раз:
\(n = \ln100/\ln1{,}02 = 4{,}6/0{,}0198 = 232\) хода ✓.
Сравните с задачей 5.5.11: накачивать легко и линейно, откачивать — всё труднее и труднее ✓.
Ответ
\(n = \ln(P_0/P)\big/\ln(1+V/V_0)\).