Имеются два тела с начальной температурой \(T_1\) и \(T_2\). Теплоёмкость этих тел равна \(C_1\) и \(C_2\) и не зависит от температуры. Одно тело используется как нагреватель, другое — как холодильник в тепловой машине. Найдите максимальную работу, которую можно получить таким образом. Провести расчёт, когда первое тело — 1 кг кипящей воды, второе — 1 кг воды при температуре \(0^\circ\mathrm{C}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Два тела, \(C_1\) при \(T_1\) и \(C_2\) при \(T_2\), \(T_1>T_2\). Ставим между ними машину Карно и крутим, пока температуры не сравняются на \(T_f\). Сохранение энтропии (обратимость): \[ C_1\ln\frac{T_f}{T_1}+C_2\ln\frac{T_f}{T_2}=0\qquad\Longrightarrow\qquad T_f=T_1^{C_1/(C_1+C_2)}T_2^{C_2/(C_1+C_2)}. \] Убыль внутренней энергии и есть работа (среда больше не участвует): \[ A=C_1 T_1+C_2 T_2-(C_1+C_2)T_f. \]
Кипящая вода \(T_1=373\) К, холодная \(T_2=273\) К, \(C_1=C_2=C=4{,}18\) кДж/К, \[ T_f=\sqrt{373\cdot 273}=\sqrt{101829}\approx 319\ \text{К}, \] \[ A=2C\Bigl(\frac{373+273}{2}-319\Bigr)=2\cdot 4{,}18\cdot(323-319)\approx 33\ \text{кДж}. \] В книге 32 кДж — округление \(c\) и корня. Порядок тот же.
Килограмм кипятка и килограмм ледяной воды: среднее арифметическое 323 К, геометрическое 319 К, разница 4 К. Умножить на \(2C\approx 8{,}4\) кДж/К — как раз 33 кДж спасённой работы. Смешать в одном ведре — получить 323 К и нуль работы, плюс \(\Delta S=2C\ln(323/\sqrt{373\cdot 273})\approx 0{,}10\) кДж/К. Снова \(T_f\Delta S\approx 33\) кДж: непроизведённая энтропия пересчиталась в работу. При \(T_1=T_2\) и корень, и среднее совпадают, \(A=0\).