Нагретое тело с начальной температурой \(T\) используется в качестве нагревателя в тепловой машине. Теплоёмкость тела не зависит от температуры и равна \(C\). Холодильником служит неограниченная среда температуры \(T_0\). Найдите максимальную работу, которую можно получить за счёт охлаждения тела.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Тело теплоёмкости \(C\) остывает от \(T\) до температуры среды \(T_0\). В момент, когда его температура равна \(\theta\), оно отдаёт \(-C\,d\theta\) (само \(d\theta<0\)). Мгновенный КПД Карно между телом и средой \(1-T_0/\theta\), элементарная работа \[ dA=\Bigl(1-\frac{T_0}{\theta}\Bigr)(-C\,d\theta). \] Интегрируем от \(\theta=T\) до \(\theta=T_0\): \[ A=\int_T^{T_0}\Bigl(1-\frac{T_0}{\theta}\Bigr)(-C)\,d\theta =C(T-T_0)-C T_0\ln\frac{T}{T_0}. \]
Первое слагаемое — убыль внутренней энергии тела (если бы мы просто выплеснули тепло в среду, работы не было бы). Второе — то тепло, которое обязаны отдать холодильнику: \(\int T_0\,dS_{\text{тела}}=T_0 C\ln(T/T_0)\). Разница и есть снятая работа.
Это максимум: любой необратимый путь (бросить раскалённое тело в ванну \(T_0\)) даёт \(A=0\).
Чайник \(C=2\) кДж/К остывает от 373 К до комнатных 300 К. Полный запас \(C(T-T_0)=146\) кДж, Карно спасает \(A=146-2\cdot 300\ln(373/300)\approx 32\) кДж — примерно пятую часть. При \(T=e T_0\) доля спасённого \((e-2)/(e-1)\approx 42\,\%\); при \(T\gg T_0\) почти всё идёт в работу, горячее тело почти как чистый источник. Бросить чайник в ванну — \(A=0\): вся энтропия родилась, работы нет.