Какую минимальную работу нужно затратить, чтобы заморозить 1 кг воды, находящейся при температуре окружающей среды 300 К?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Среда \(T_0=300\) К. Воду надо: (1) охладить от 300 К до 273 К, (2) заморозить при 273 К. Оба шага обратимые, тепло сбрасывается в среду.
Охлаждение. \(dQ=mc\,dT\), элементарная работа \(dA=dQ(T_0/T-1)\), \[ A_1=mc\Bigl(T_0\ln\frac{T_0}{T_*}-(T_0-T_*)\Bigr) =4180\bigl(300\ln(300/273)-27\bigr). \] \(\ln(300/273)=\ln 1{,}099\approx 0{,}0943\), \(300\cdot 0{,}0943-27=1{,}29\), \(A_1\approx 5{,}4\) кДж.
Замерзание. \(Q=\lambda=3{,}34\cdot10^5\) Дж при \(T_*=273\) К, \[ A_2=\lambda\Bigl(\frac{T_0}{T_*}-1\Bigr)=3{,}34\cdot10^5\cdot\frac{27}{273}\approx 33\ \text{кДж}. \] Всего \(A\approx 39\) кДж. В книге 46 кДж: там, по-видимому, охлаждение считали так, будто всё тепло выкачивается уже при 273 К (грубее на \(\sim 6\) кДж). Главное — почти вся работа уходит на теплоту плавления, охлаждение на 27 градусов копеечное.
Заморозить килограмм воды при 300 К стоит \(\approx 40\) кДж — как поднять этот килограмм на 4 км. Из них 5 кДж уходит на охлаждение 300 → 273 К и 33 кДж — на саму теплоту плавления. Грубая оценка «выкачать все 447 кДж уже при 273 К» даёт 44 кДж и ближе к книжным 46; интеграл по температуре честнее на шесть килоджоулей. Порядок один, и он объясняет, почему морозилка берёт заметную долю счёта за электричество: плавление воды дорогое.