С помощью электрической плитки мощности 1 кВт в комнате поддерживается температура \(17^\circ\mathrm{C}\) при температуре наружного воздуха \(-23^\circ\mathrm{C}\). Какая мощность потребовалась бы для поддержания в комнате той же температуры с помощью идеальной тепловой машины?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Плитка мощности 1 кВт держит в комнате \(17^\circ\mathrm{C}=290\) К при улице \(-23^\circ\mathrm{C}=250\) К. Значит, потери через стены при этой разности температур равны 1 кВт: иначе температура не стояла бы.
Идеальная тепловая машина — тепловой насос: холодильник на улице, «нагреватель» в комнате. Ему нужно вернуть в комнату те же 1 кВт, которые уходят на улицу. Отопительный коэффициент Карно \[ \frac{Q_+}{A}=\frac{T}{T-T_0}=\frac{290}{40}=7{,}25, \] откуда \[ N=A=\frac{Q_+}{T/(T-T_0)}=1000\cdot\Bigl(1-\frac{250}{290}\Bigr)\approx 138\ \text{Вт}. \]
В семь раз выгоднее плитки: большую часть тепла мы не производим, а перетаскиваем с улицы. Реальные тепловые насосы имеют коэффициент 3–4, не 7, но идея та же.
Именно поэтому тепловые насосы ставят в тёплых странах и в умеренном климате, а при \(-40^\circ\mathrm{C}\) их коэффициент падает: \(T/(T-T_0)=290/63\approx 4{,}6\) уже в идеале, в реальности около двух, и плитка почти догоняет.
Плитка 1 кВт держит в комнате 17 °C при улице \(-23\) °C — значит, стены при \(\Delta T=40\) К пропускают ровно киловатт. Тепловой насос Карно тащит этот киловатт с улицы, тратя только \(40/290\approx 14\,\%\), то есть 138 Вт. Отопительный коэффициент 7,25 в идеале, у реальных насосов 3–4. На морозе \(-40\) °C идеал падает до \(290/63\approx 4{,}6\), и плитка уже почти догоняет. При \(T_0\to T\) мощность \(\to 0\): отапливать, когда на улице 17 °C, не нужно.