Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу, передаёт тепло от холодильника с водой при \(0^\circ\mathrm{C}\) кипятильнику с водой при \(100^\circ\mathrm{C}\). Сколько воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 1 кг воды в кипятильнике?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Идеальная машина качает тепло от воды при \(0^\circ\mathrm{C}\) (\(T_-=273\) К) к воде при \(100^\circ\mathrm{C}\) (\(T_+=373\) К). Кипятильнику, чтобы превратить 1 кг воды в пар, нужно \[ Q_+=m_\text{п} r=2{,}26\cdot10^6\ \text{Дж}. \] Обратимость: \(Q_+/T_+=Q_-/T_-\), \[ Q_-=Q_+\frac{273}{373}=2{,}26\cdot10^6\cdot\frac{273}{373}\approx 1{,}65\cdot10^6\ \text{Дж}. \] Это тепло холодильник берёт у воды при \(0^\circ\mathrm{C}\), замораживая её: \[ m_{\text{льда}}=\frac{Q_-}{\lambda}=\frac{1{,}65\cdot10^6}{3{,}34\cdot10^5}\approx 4{,}95\ \text{кг}\approx 5\ \text{кг}. \]
Работа, которую надо затратить: \(A=Q_+-Q_-\approx 0{,}61\) МДж. Без машины, просто грея кипятильник плиткой, мы потратили бы 2,26 МДж и лёд бы не получили. Машина экономит энергию, но требует пять килограммов льда как «плату холодом».
Чтобы выпарить килограмм воды, кипятильнику нужны 2,26 МДж при 373 К. Обратный Карно забирает у льда \(2{,}26\cdot 273/373\approx 1{,}65\) МДж, и это 5 кг льда. Без машины тепловой баланс дал бы \(r/\lambda\approx 6{,}8\) кг; Карно «скидывает» полтора килограмма за счёт работы \(A\approx 0{,}61\) МДж. Плиткой мы потратили бы все 2,26 МДж и льда не получили. Пять килограммов — плата холодом за то, что тепло идёт против градиента.