а. Найдите силу взаимодействия зарядов 1 и 2 Кл на расстоянии 1 км друг от друга.
б. С какой силой взаимодействуют два электрона на расстоянии \(10^{-8}\) см? Во сколько раз эта сила больше силы их гравитационного притяжения?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. \(r=1\) км \(=10^3\) м, \(q_1=1\) Кл, \(q_2=2\) Кл: \[ F=\frac{9\cdot10^9\cdot1\cdot2}{(10^3)^2}=\frac{1{,}8\cdot10^{10}}{10^6}=1{,}8\cdot10^4\ \text{Н}. \] Это вес примерно двух тонн — и всё на километре. Кулон как единица заряда чудовищно велик.
б. Сначала переведём расстояние: \(10^{-8}\) см \(=10^{-10}\) м (как раз порядок размера атома). Заряд электрона \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, масса \(m_e=9{,}1\cdot10^{-31}\) кг. \[ F_e=\frac{9\cdot10^9\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{(10^{-10})^2} =\frac{9\cdot10^9\cdot2{,}56\cdot10^{-38}}{10^{-20}} =2{,}3\cdot10^{-8}\ \text{Н}. \] Гравитация той же пары \(F_g=Gm_e^2/r^2\). В отношении \(r\) сокращается: \[ \frac{F_e}{F_g}=\frac{ke^2}{Gm_e^2} =\frac{9\cdot10^9\cdot2{,}56\cdot10^{-38}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot(9{,}1\cdot10^{-31})^2} =\frac{2{,}30\cdot10^{-28}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}3\cdot10^{-61}} =\frac{2{,}30\cdot10^{-28}}{5{,}5\cdot10^{-71}} =4{,}2\cdot10^{42}. \]
Можно пересчитать силу иначе — через число элементарных зарядов. Кулон — это \(6{,}25\cdot10^{18}\) электронов. Два таких комка на километре толкаются так, словно между ними висит грузовик. Для электронов отношение \(F_e/F_g\) не зависит от расстояния: и кулон, и ньютон падают как \(1/r^2\), и остаётся чистое отношение констант природы \(ke^2/Gm_e^2\). Именно поэтому его и называют одним из больших чисел физики.
Ещё одна оценка масштаба. При \(r=1\) Å сила двух электронов \(2{,}3\cdot10^{-8}\) Н — вес пылинки в пару нанограмм. Гравитация той же пары \(\sim10^{-50}\) Н: её не измерить никаким лабораторным динамометром. Если бы заряд электрона был в тысячу раз меньше, боровский радиус вырос бы в миллион раз, и привычной химии не существовало бы.