Две пересекающиеся под углом \(\alpha\) бесконечные плоскости делят пространство на четыре области. Чему равна напряжённость в областях 1 и 2, если плотность плоскостей \(\pm\sigma\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Каждая плоскость даёт \(E_0=\sigma/(2\varepsilon_0)\) по своей нормали. В клине раствора \(\alpha\) (область 1, между плюсом и минусом) два вектора \(E_0\) складываются под углом \(\pi-\alpha\): \[ E_1=2E_0\cos\frac{\pi-\alpha}{2}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\sin\frac{\alpha}{2}. \] В смежной области угол между нормалями другой: \[ E_2=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\cos\frac{\alpha}{2}. \]
Каждая плоскость несёт своё \(E_0=\sigma/(2\varepsilon_0)\) по нормали. В клине раствора \(\alpha\) нормали смотрят почти навстречу, если \(\alpha\) мал, и векторы почти уничтожаются — отсюда \(E_1\propto\sin(\alpha/2)\to0\). В смежном тупом клине они почти складываются — \(E_2\propto\cos(\alpha/2)\to\sigma/\varepsilon_0\).
Прямой крест \(\alpha=90^\circ\): оба ответа \(\sigma/(\varepsilon_0\sqrt{2})\), картинка симметрична, клинья не различить. При \(\alpha=\pi\) «клин» стал полупространством между совпавшими разноимёнными плоскостями, \(E_1=\sigma/\varepsilon_0\), \(E_2=0\) — обычный конденсатор. Формула это умеет.