Две бесконечные пластины толщины \(h\) заряжены равномерно по объёму и сложены вместе. Плотность первой \(\rho\), второй \(-\rho\). Найдите максимальную напряжённость поля.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Снаружи поля двух пластин противоположны и равны — \(E=0\). На стыке поле первой пластины (как снаружи для неё, если смотреть из \(-\rho\)) и поле второй смотрят в одну сторону: \[ E_{\max}=\frac{\rho h}{2\varepsilon_0}+\frac{\rho h}{2\varepsilon_0}=\frac{\rho h}{\varepsilon_0}. \]
Тот же ответ по Гауссу: прошли всю толщину \(+\rho\), набрали эффективную поверхностную плотность \(\rho h\), поле «двойного слоя» \(E=\sigma_{\text{эф}}/\varepsilon_0\).
Снаружи сложенные \(\rho\) и \(-\rho\) неотличимы от нуля: суммарный заряд единицы площади ноль. На стыке мы прошли весь плюс и ещё не вошли в минус — эффективная \(\sigma=\rho h\), поле как у двойного слоя \(\sigma/\varepsilon_0\). Максимум обязан сидеть именно на стыке: дальше минус начинает гасить поле.
Внутри каждой пластины поле линейно. От левого края: нуль снаружи, рост до \(\rho h/\varepsilon_0\) на стыке, спад до нуля на правом крае. График — треугольная «крыша». Площадь под ней \(\rho h^2/\varepsilon_0\) — это разность потенциалов между краями, равная нулю по симметрии? Нет: края оба на нулевом поле, но потенциал на стыке выше (или ниже) краёв на \(\rho h^2/(2\varepsilon_0)\).