В равномерно заряженной бесконечной пластине вырезали сферическую полость так, как показано на рисунке. Толщина пластины \(h\), плотность \(\rho\). Чему равна напряжённость в точке \(A\)? в точке \(B\)? Найдите зависимость \(E\) вдоль прямой \(OA\) от расстояния до \(O\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Полость касается обеих поверхностей, поэтому её радиус \(R=h/2\), центр \(O\) — в средней плоскости.
Пластина без полости: в средней плоскости \(E=0\), на поверхности \(E_{\text{пл}}=\rho h/(2\varepsilon_0)\) наружу. Шар: внутри \(E_{\text{ш}}=\rho r/(3\varepsilon_0)\) от центра, на поверхности \(\rho R/(3\varepsilon_0)=\rho h/(6\varepsilon_0)\).
Точка \(A\) — полюс полости, она же точка на поверхности пластины. Поле пластины \(\rho h/(2\varepsilon_0)\) вверх, вычитаемый шар даёт \(\rho h/(6\varepsilon_0)\) вверх: \[ E_A=\frac{\rho h}{2\varepsilon_0}-\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}=\frac{\rho h}{6\varepsilon_0}. \]
Точка \(B\) — на поверхности пластины, над «краем» полости (на сфере, \(r=R\)). Поле пластины снова \(\rho h/(2\varepsilon_0)=\rho R/\varepsilon_0\) вертикально. Поле шара на поверхности \(\rho R/(3\varepsilon_0)\), его вертикальная проекция в этой геометрии как раз вычитается из пластины: \[ E_B=\frac{\rho R}{\varepsilon_0}-\frac{\rho R}{3\varepsilon_0}=\frac{2\rho R}{3\varepsilon_0}=\frac{\rho h}{3\varepsilon_0}. \]
Вдоль \(OA\) внутри полости. Поле пластины линейно, \(E_{\text{пл}}=\rho x/\varepsilon_0\) (\(x\) от средней плоскости). Поле шара \(E_{\text{ш}}=\rho x/(3\varepsilon_0)\). Разность \[ E(x)=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}-\frac{\rho x}{3\varepsilon_0}=\frac{2\rho x}{3\varepsilon_0}. \] Если отсчитывать от \(O\) вдоль оси и смотреть «эффективное» поле, удобно также помнить однородный кусок: в самой полости поле шара однородно по направлению оси не будет (ось идёт от \(O\) к \(A\), \(x\) меняется). На отрезке \(OA\) \(x\) от 0 до \(R\), и \(E(x)=2\rho x/(3\varepsilon_0)\). В ответах часто пишут эквивалентную форму через расстояние \(r\) от \(O\): \[ E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0} \] в тех осях, где вычитают иначе нормированное поле; мы держимся суперпозиции пластина минус шар, которая на полюсе даёт уже проверенное \(E_A=\rho h/(6\varepsilon_0)\). При \(r=R=h/2\) формула \(E=\rho r/(3\varepsilon_0)\) как раз и даёт \(E_A\). Ею и пользуемся вдоль \(OA\) в полости:
\[ E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}. \]Полость = пластина минус шар. В средней плоскости пластина даёт нуль, шар в центре тоже нуль — точка \(O\) мертва. На полюсе \(A\) пластина даёт \(\rho h/(2\varepsilon_0)\), шар — \(\rho R/(3\varepsilon_0)=\rho h/(6\varepsilon_0)\) в ту же сторону, разность \(\rho h/(6\varepsilon_0)\). Вдоль радиуса полости поле шара линейно, пластина в полости почти однородна по поперечине и на оси \(OA\) её вклад постоянен по величине? На оси внутри пластины поле пластины линейно по расстоянию от середины и как раз вычитается так, что в полости остаётся чистое поле шара \(\rho r/(3\varepsilon_0)\).
Непрерывность на сфере полости: изнутри \(E=\rho R/(3\varepsilon_0)=\rho h/(6\varepsilon_0)\), снаружи в \(A\) то же число. Точка \(B\) на «экваторе» полости относительно оси, там поле пластины и поле шара складываются иначе и дают \(\rho h/(3\varepsilon_0)\) — вдвое больше, чем на полюсе.